Las matemáticas y la realidad. Consideraciones sobre la «Matemática moderna» y la reforma de la enseñanza

Julio Garrido Mareca

LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
Consideraciones sobre la "Matemática moderna" y la reforma
de la enseñanza.
POR
JULIO GARRIDO.
Una de las características fundamentales de la época en que vi
vimos es la afición desmedida a las novedades, las innovaciones y las
originalidades. Las palabras «nuevo», «moderno» y < son epítetos empleados con éxito en las propagandas desarrolladas
para hacer aceptables ideas originales o extravagantes y para suscitar
el consumo de los más variados productos comerciales. Llevan ahora
estas palabras una carga emocional que atrae a
la juventud y parece
seducir también a los menos jóvenes que para no quedarse a la zaga
se dejari a menudo arrastrar dócilmente por
el torbellino del cambio
irreflexivo.
Hasta en las actividades humanas que parecían más estables, de
finitivas
y refractarias a las transformaciones, se han introducido los
agentes del «innovacionismo»
y así se habla ahora de una < liturgia»
y de la < estas dos expresiones, pues nos parece que, una en lo sagrado
y la
otra en lo profano, representan dos de los más audaces avances del
espíritu modernista en dominios que hasta ahora se habían conside
rado
como' formando

parte del < de la humanidad. Por ahora el reformismo triunfa en toda
la línea y en los más
variados campos merced a una hábil propaganda que mezcla sin dis
criminación los indudables beneficios de muchas -innovaciones con
otros cambios
y originalidades mucho más discutibles. En los puestos
clave de muchas administraciones se han introducido en la mayoría
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JUUO GARJUDO
de los países elementos mesiánicos, cuya buena fe no nos corresponde
poner en duda, pero que se inspiran en la idea simplista que todo
cambio o modernización es sinónimo de progreso y que éste es tanto
más acusado
y beneficioso cuanto más drástica es la ruptura con un
pasado que· se .califica la~ más de las veces precipitadamente de ru
tinario y estático.
Los valientes que s~ atreven a oppner~e a estas acciones e inno
vaciones, a veces comparables al p"aso de. un rebaño de búfalos por
un almacén de valiosas porcelanas, son calificados con los epítetos
infamantes de «inmovilistas» y «reaccionarios», de «conservadores»
y «retrógrados>>. Sólo son permitidas algnnas discretas rectificaciones
al trayecto que siguen los búfalos, a condición de no olvidar saludar
les amablemente cuando pasan
y cerrar los ojos a lo~ destrozos que
causan.
No hay peor inmovilismo que el del que se deja llevar desar
mado por la corriente, ni más meritorio dinamismo que el que trata
de dirigir
y aprovechar para fines útiles la fuerza bruta de los bú
falos encauzando la corriente
a llanuras en las que el hermoso es
pectáculo del galopar de la manada no lleve consigo
ningnna des
trucción. En

aras a este _dinamismo positivo, vamos a exponer aquí algunas
consideraciones sobre un punto particular del
espíriru reformista,

la
llamada < ses una influencia
funda!llental en

las reformas educativas en curso.
Se nos antoja que las innovaciones en el campo de las matemáticas
son quizá las
más características y las más adecuadas para analizar
el espíritu
y las tendencias profundas de las diversas reformas de la
enseñanza que desarrollan ahora los elementos mesiánicos de los que
hablábamos más arriba.
Así lo ha juzgado un autor tan perspicaz
como Jean Madiran, director de la prestigiosa revista
Itineraires, que
ha consagrado un número especial ( 1) a las matemáticas modernas
y que no duda en decir en la introducción a este número que: «la
imposición de las nuevas matemáticas es un acontecimiento conside-
(1) ltineraires/Revue mensuelle. Núm. 156. Septembre-octobre 1971.
302 págs. (4 rue
Garandere. París V).
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LAS MATEMATICAS Y LA RÉALIDAD
rabie, una verdadera revolución culturar )' a este· título reviste la
inaxima gravedad». Otros autores, que citaremos a lo largo de nues
tra exposición, abundan
eri el mismo sentido y aunque algunos la
consideren
beneficiosa y otros nociva, todos justifican que nos ocu
pemos
aquí de esta cuestión que por su· importancia rebasa, y con
mué:ho, el ámbito de 10s medios profesionales, matemáticos y peda
gógicos, y debe ihteresar a todo el que desea compreoder y analizar
con independencia de espíritu las reformas
educativas que, tanta ·im
portancia tienen para la formación de la juvenhld y, por consiguiente,
para
el futuro.
Las matemáticas y_ la réforma de la enseñanza.
Las ideas fundameotales de la reforma de la enseñanza de las
matemáticas fueron elaboradas por un «Comisión Internacional para
la enseñanza de las Matemáticas»
cuya presidente

fue
de 1962
a
1966
el profesor Andre Licherowicz. Este profesor que segón G.
Bonnot (2) tiene el encanto del hombre que Je dedica precisamente
en 111 trabajo a continuar siendo un aficionado, logró imponer sus
aficiones

a
sus colegas

de
la comisión ( q1:1e no sabemos si t-eníin
también mentalidad de diletantes) y logró con\'encer al Gobierno
francés, a partir de 1969 a una drástica reforma de la enseñanza de
las ciencias matemáticas a todos los niveles. La actitud del profesor
Licherowicz de mirada azul intensa, con pipa y traje de sport (3)
se vio apoyada por grupos de matemáticos más o menos t'evolucio
narios tales como el profesor Dieudonné, autor del grito célebre e
impío de
¡ Abajo Euclides! Entre' todos estos sabios y aficionados
transpirénáicos, entre pipas e intensas miradas azules, se gestó una
reforma que no se limita a un simple cambio de materias o de méto do, sino que en el fondo busca, nada más
y nada menos, que cambiar
(2) G. BONNOT. Le cauchemar des mathématiques modernes. L'express.
París (31 janvier-6 février 1972),
(3) G. BONNOT, loe. cit.
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JULIO GARRJDO
la manera de pensar que ha sido la de toda la humanidad desde los
griegos hasta la fecha, e inculcar a las nuevas generaciones
el des
precio de las verdades recibidas por
la enseñan.za magistral, el aban
dono de la memorización
y la primacía de la creatividad individual
libre de toda traba o norma. Se trata también de introducir con la «matemática moderna>> una
enseñanza cada vez más abstracta
y separada de lo real, como dice el
gran
«innovadonista>> francés Edgard Faur~: en lo que respecta a
las matemáticas modernas, me parece muy importante que se gene
ralice su enseñanza porque habitúan a aprehender lo posible1 antes
que la realidad, y así favorecen la creatividad de los alumnos ( 4).
Pero lo más grave es que se intenta hacer que todo el saber humano
pase bajo el dominio de la «matemática moderna>>
y hacer creer al
alumno que las únicas certezas racionales son las de esta disciplina
(5).
Como

las certezas de las matemáticas puras se basan en
axiomas con
vencionales

que se pueden cambiar, resulta que todo está sujeto a
cambio
y revisión, no hay ninguna certeza definitiva y sólo tendre
mos edificios racionalmente coherentes pero que son provisiona les ( 6). Y a no se trata
de_ analizar y conocer la realidad por medio
de nuestras cualidades cognoscitivas, sino únicamente de crear edi
ficios subjetivos originales cuyo único carácter científico es que se
ajustan a las normas de una disciplina lógica basada en las nociones
matemáticas de conjnntos y estructuras y la
finalidad _de la matemá-
(4) Declaraciones al Fígaro del 8 de enero de 1969.
(5)

Por la pedagogía de las nuevas matemáticas, todas las nociones ra
cionales ( no matemáticas) de la lógica clásica son reemplazadas pÓr una ló
gica nueva. Consecuencia: todas las conclusiones racionales (no matemáticas)
del pensamiento humano resultan condenadas a una incertidumbre radical. En
una palabra, es el Decálogo qut= es destruido, pues el Decálogo es un resumen
práctico de todas las certezas racionales que no son de
naturaleza matemá
tica
(ltinérair~.r, loe. cit. pág. 8).
( 6) Este
carácter de
inestabilidad es uno de los factores de
éxito de
la
«reforma» pues va en el sentido de la psicosis de cambio que aqueja a nues
tros contemporáneos. A este respecto se puede consultar nuestro
esrudio sobre
«La Mentalidad Postconciliar y las verdades de la Fe». Buenos Aires, 1968
y Méjico (Editorial Jus, 1969).
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LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
tica moderna es enseñar a manejar estas nociones general.es válidas
para todos los casos y para todas las actividades intelectuales (7).
Por esto los reformadores hablan de la matemática y no de las
matemáticas, pues su intento es implantar una disciplina central de
la
cual se han de deducir todas las demás. No se trata de entidades,
algoritmos
y teorías aplicadas a diversos aspectos de la realidad for
mando capítulos diversos que se suceden, no sin coherencia, pero
in
dependientes,

sino de un sistema rígido
y unitario del que se deben
deducir como apéndices los diversos capítulos. Es este signo de
la
unificación W10 de los aspectos más importantes de la reforma; para
analizarlo no tenemos más remedio que decir algunas palabras sobre
los fines
y el significado de las ciencias matemáticas.
Las ciencias matemáticas, .ídolo o instrumento.
Raro es entre los que han hecho estudios científicos superiores
el que no ha sufrido cierto tipo de profesores que haciendo gala de
soltura en el manejo de
las más
intrincadas
ecuaciones, desarrollaba
capítulos

de las
ciencias físicas o tecnológicas como meros ejercicios
de
matemáticas en los que
las relaciones Con la
realidad se perdían
desde el principio del desarrollo de los razonamientos. Parecía en
estos cursos que
lo" principal,

lo único valedeto, era conocer· la trama
de las

deducciones lógicas; el análisis matizado
y complejo de la
realidad física pasaba a
segunclo lugar

frente a
la esquematización
de una teoría. Cada uno de estos profesores tenía su propio ídolo
(7) Todo _ocurre como si se quisiera inculcar a los padres y a los alum
nos la idea de que las matemáticas sufren ahora una revolución comparable
con lo que se ha llamado (erróneamente) revolución galileana en Ía astro
nomía. Esta revolución
llevaría cons'igo una verdadera mutación intelectual
manifestada por un cambio total en los métodos
y en el contenido de las
matemáticas que hasta ahófá hahrían sido llevadas a cont,apelo del mectt
nismo del intelecto, como dice un. artículo del. Journal du Dimanche de
París (

29 de septiembre 1970), que se titula muy seriamente
«2 + 2 no son
necesariamente
4», es una obra ·maestra de información deformante para uti
lizar la expresión feliz de Marce! de Corte (citado en el Ordre franrai.r, nú
mero
156. Diciembre

1971,
pág. 37).
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JULIO GARRIDO
matemático: wios, !a geometría analítica., 0tros las ecuaciones dife
renciales o la teoría de las probabilidades. Pero este fetichismo ad
mitía, por lo menos en
teoría~ uó.a referellcia a la realidad que es
lo que se trataba de explicar.
Podían ser

las matemáticas ídolos o
fetiches para determinados profesores, pero no perdían por ésto su
carácter de instiuinento, instrumentos díversos aplicables cada uno
de ellos a un aspecto o una fracción de la realidad. En cambio, con
la «nueva ni.atemáticá.>> áparéce un sólo ídolo qué pretende ser la
ciencia de las ciéncias, la base ·de todo conocimiento. Uno de sus par.;.
tid_arios, André Warufsel, expresa este papel central de s11 ·ciencia
del modo siguiente: «El matem!ttico ya no está limitado desde hace
algunos

lustros
por · tas divisiones tradicioflales ... su domino de
estudio comprende, oficialmente
todo lo
que puede
ser obje:
o de
razonamiento lógico ... Esta
universalidad que se ha vuelto a

encon
trar era

la
que tenía

antiguamente la filosofía, que era la ciencia por
excelencia en

donde se debía buscar la respuesta a
todar lar pregun
tas ... Así se llega a constituir
una ciencia

general
cuya finalidad es
et

estudio del
pensamiento abstracto

por sí
misfno ... El obieto más
o

menos confesado de la
mateinática moderna e1 constituir un len
guaje

universal
para expresar con él todo

el conocimiento
científico
(

a exclusión
de las

consideraciones
estéticas, literarias 0
1 más general
mente,
subjetivas) parece relativamente

razonable. Ya el
vocabulario
y el simbolismo matemático, e1pecittlmente el de la famosa teorla de
lo! con;1mtos1 puede ser útil a categorias muy variadas dé especialis
tas:

los
psiéosociólogos, /01 di-rectores de emprna, los e1iado1-mayo
res» (8). NoS encontramos, pues, ante un ídolo omnipotente y om
nipresente

que está en trance de sustituir a los pequeños e inofensivos
ídolos de

nuestros viejos
péofesores y que arroja a las tinieblas ex
teriores de la subjetividad todo aquel que rehúsa rendirle culto. Un ídolo cuya principal originalidad es, según M.
L. Guérard des Lau
riers (9)
la intransigencia de su dogmatismo ... pues excluye el fun
damentó obietivo del

conocimiento
y por el hecho mismo de su cons
trucci6n plantea

el fundamento
subietivo como autosuficiente ... con-
(8) Citado por P. Bouscaren. ltinéraires, loe. cit. pág. 35.
(9) ltinéraires, loe. cit., págs. 113-114.
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LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
sagra para las matemáticas un concepto que es exactamente opuesto
al
tradicional y ttfirma que su idea es la única que expresa con e~ac-
. titud la naturaleza del ente matemático. Es desde el punto de vista
epistemológico 1't implkación del axiomatismo. Y entendemos por
axiomatismo el hecho de fundar la matemática exclusivamente sobre
la axiomatización. Las relacione.r que existen entre la matemática
y la realidad JOn aminoradas o rechazadas, las relaciones que existen
entre las matemáticas y el pensamieñto son aumentadas o presentadas
como
las únicas existentes (10). Y resulta que los que querían arrojar
a las tinieblas exteriores por subjetivistas a los que no admiten su do
minio, son más subjetivistas que nadie; adoran un ídolo que es, en
el fondo, la Diosa Razón, encarnación del hombre que se adora a sí
mismo (11).
Parece que
el culto a este ídolo se quiere incrementar por obra
y gracia de las reformas educativas y, aunque sólo sea pü:t aumentar
nuestra cultura en el dominio de las religiones comparadaS,
·debemos
interesarnos

por este culto y estudiar:
' ·
l. lo que esi y llegaremos a la conclusión de que es un pensa
miento sin contenido,
2. su origen! y veremos -que nace de un intento de unificación
del pensamiento matemático.
3. su ufilización y resultadoi que nos permitirá apreciar sus ven
tajas
y sus peligros, su desarrollo en la práctica y sus· con
secuencias generales.
(10) En la_ ~atemática . se· opera frecuentemente con entes de razón;
pero un ente de razón se define por su imposibilidad de existencia real;
cuando el· matemático, por nula o mala
-formación; COnfunde coherencia

ma
temática con realidad,
y trata · de pensar como existentes realmente esos entes,
llega
n~scesariamente-a

contradicciones.
J. A. CASAUBON, Lógica y «lógicas» .. 111. Estudios teol6gicos y filosóficos.
Buenos
Aires. Tomo I, nú!l}. 3, pág. 245.
(11) Post-scriptum sur la théorie des ensembles, Revue Thomiste. Enero
febrero 1970, pág. 47.
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JULIO GARRIDO
Un pensamiento sin contenido.
La nueva matemática constituye un lenguaje que permite formu
lar de un modo exacto las operaciones lógicas que ejecuta el razo
namiento, pero afirma que las palabras que emplea
y las conclusiones
a las que llega no proceden de conceptos obtenidos de la realidad por medio de
la abstracción, sino que son convenciones gratuitas
basadas en un número muy reducido de conceptos generales
y en
uno ( o varios) sistemas de reglas coherentes que forman_ un sistema
algébrico libremente organizado por los matemáticos y que no es
un simple juego deductivo porque se puede con su ayuda desarrollar
sistemas coherentes que permiten dar una forma precisa a numero
sas cuestiones planteadas por la ciencia
y por la técnica.
Al
fin y al cabo es un sistema de pensamiento sin contenido pro
pio, pero aplicable a diversos problemas, y en esto radica su impor
tancia. A este respecto difiere poco de la lógica clásica que da reglas
para dirigir correctamente nuestro entendimiento
y señala el camino
que se debe seguir para conducir nuestros razonamientos hacia la
verdad. Pero como los nuevos matemáticos tienen en general una tendencia relativista, no les gusta hablar de verdad
y de error y se
contentan con apreciar la coherencia de los
sistemas.
Si

se quiere,
la lógica clásica es también un pensamiento sin con
tenido, pero que espera ser llenado con verdades, o sea, con adecua
ciones entre nuestro pensamiento
y la realidad. En esto reside la di
ferencia esencial entre los dos sistemas de pensamiento.
Por el hecho de considerarse independiente de la realidad, la
nueva lógica, pretende estar por encima de
la verdad y del error y
por esto ser universalmente válida y en esta pretensión reside una de
sus mayores debilidades pues, en realidad, resulta sólo válida para los sistemas
de _!)ensamiento para

los cuales ha sido elaborada.
«Sería imperdonable, ha

escrito recientemente el filósofo
J. Ma
ritain, creer que la matemática ·moderna es válida para conocimientos
como el filosófico
y el metafisico, donde el pensamiento funciona
según leye1 que
le trascienden ... y termina este autor con el párrafo
siguiente, bien poco indulgente con los que quieren dar a la mate-
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LAS MATEMATICAS Y LA R.EAUDAD
mática nueva una importancia mayor de la que realmente tiene: «.No
tengo absolutamente nada en contra del álgebra de Boole o en con
tra de la
teoría de
los conjuntos consideradas en sí mismas.
Las ad
miro y no las he criticado de ningún modo ... pero con respecto a
los ingenuos
y los enfatuados que abu1an de ellas y las sacan del do
minio
propio donde
10n válidas y con esto ,e burlan de la filo10fía,
considerándolas

como LA LOGICA
por antonomasia,

no
tengo nin
guna indulgencia.

Pienso
que no

es inoportuno poner en
guardia
contra ello, pues alguno de los nuevos maestro.s han empezado ya
JU trabajo; y dado el estado en que se encuentra ahora la filosofía,
no

es imposible que se les dé
un crédito inmerecido

durante una
larga temporada.»
El pensamiento sin contenido que caracteriza a la matemática
moderna constituye a manera de una estructura de edificio vacío,
que puede ser ocupado por entidades distintas sin tener en cuenta
cuáles pueden ser éstas ; por esto muchos autores prefieren hablar
de una concepción constructiva, axiomática y estructural de las ma
temáticas; la expresión «matemática moderna» debería ser sustituida
según algunos por la de «matemática de las estructuras» que elabora
formas o estructuras mentales aplicables a muy distintas realidades,
pero esta particularidad no tiene nada
·de nuevo y es lo que caracte
riza

a las ciencias matemáticas según fue reconocido por el mismo
Aristóteles en su «Metafísica»
(12).
(12) El matemático dirige sus estudios a las abstracciones. Considera
su objeto haciendo abstracción de todos los caracteres
-sensibles, tales
como
el peso o la ligereza, la dureza y su contrario, así como del calor ~y el frío
y de todos los otros dilemas contrarios de orden sensible; conserva solamente
la cantidad
y el continuo; no los estudia desde otros puntos de vista. De
algunos de estos objetos, considera las posiciones relativas
y la determina
ción de estas posiciones; para otros examina las relaciones de mensurabilidad
o
inconmesurabilidad; para
otros, en fin, las proporciones. Pero de todos
estos objetos sólo consideramos
una sola y misma ciencia: la Geometría.
(Metafísica, libro
XI, capítulo 3).
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JUUO GAlUUDO
Variedad y unificación bajo el signo de la abstracción.
La ciencia tiende, naturalmente, a la unidad, tiende a distinguir
lo
es~cial de
lo particular
y episódico; a este respecto trabaja siem
pre bajo el signo de la abstracción. Por esto es conveniente para nues
tro análisis recordar la doctrina clásica de los tres grados de abstrac
ción. Una exposición clara y completa se puede encontrar en el curso
de Filosofía de Roger Verneaux, en el volumen dedicado a la Filo
sofía del hombre (13). Siguiendo a este autor, recordaremos que la
abstracción comporta varias formas
y varios grados. En su sentido
amplio, abstraer es considerar aparte
y por separado un elemento o
un aspecto de una cosa. En este ~entido existe abstracción al nivel del
conocimiento sensible, pues
cadá. sentido

sólo percibe un aspecto del
universo excluyendo los otros, por ejemplo, el color, haciendo abs
tracción del olor o de la dureza. Resulta así una concepción empi
rista de
la abstracción, pero en este caso en realidad es sólo un es
bozo de
la verdadera abstracción, pues el aspecto o elemento conside
rado es tan coricreto como el todo.
La abstracción

propiamente dicha empieza cuando se considera
la naturaleza o la esencia de un objeto sensible prescindiendo de los
factores que lo individualizan
y esta abstracción es propia de la
inteligencia.
La abstracción intelectual tiene dos formas principales que se
llaman abstracción total
y abstracción formal: la primera trata de des
tacar un género a partir de sus categorías inferiores, especies o indi
viduos. La abstracción formal consiste _en destacar un tipo de ser a
partir de los individuos.
La primera es común a todas las ciencias;
la segunda comporta grados que diferencian las ciencias entre sí
y
constituyen los diferentes tipos del saber humano. Existen tres gra
.dos
de
abstracción formal: física,
matemática y metafísica.
En_ la
abstracción física, se consideran las cualld~es sensibles de
las cosas prescindiendo de los caracteres
individuale;, Por
ejemplo,
(13) R. VERNEAUX y otros. Cours de Philosophie Thomiste 4, Philoso
phie de l'homme. París Beauchesne, 19 56.
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LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
el peso, la temperatura, las reacciones entre los cuerpos, las transfor
maciones ... ,
etc. En la ab.stracción matemática se considera la canti
dad, las relaciones de estructura de
las partes y las regularidades ex
presadas por cantidades.
En la
abstracción metafísica se considera el ser del objeto pres
cindiendo de la calidad
y de la cantidad : analizando el hecho de
existir, el tipo de ser,
1a sustancia y el accidente, la potencia y el
acto, etc., ...
En este último punto se juega el destino de la metafísica, pues
cabe preguntar si existe algo que estudiar; en un objeto si se hace
abstracción de la cantidad y de la calidad; si se admite que no se
puede estudiar nada, se condena toda metafísica
y esto significa que
las matemáticas son el supremo grado de abstracción, pero por poco
que se reflexione se constata que
para un

ser cualquiera el hecho de
existir es un problema fundamental importante que escapa a las ma
temáticas
y el desechar la metafísica no es sino limitar las posibili
dades de profundización de nuestro conocimiento.
Las matemáticas están
p~isioneras entre

dos abstracciones, una
más particular,
la física y otra más general, la metafísica ... No pue
den las matemáticas por sí solas
deducjr las
cualidades sensibles de
las cosas ni son necesarias para acceder al conocimiento
metafís~o.
Cada

grado de abstracción tiene su
especificidad de
objeto, su natu
raleza metodológica distinta,
no. se

pueden
confunair los
diferentes
órdenes. Querer que el ídolo matemático sirva para los tres grados
de abstración es una empresa falaz como lo es la pretensión de de
mostrar todo racionalmente ; muchas de las verdades conocidas lo
son independientemente de todo razonamiento deductivo; por mucho
que progresen nuestros conocimientos científicos los conocimientos
de botánica se basarán siempre en la observación de las plantas
y
nunca en una deducción racional ( 14).
Las ciencias de
la naturaleza hacen uso de los dos primeros gra-
(14) Ver a este respecto el capítulo I ((Conocimiento de las ciencias
naturales
y conocimiento_ de las verdades religiosas del Catecismo para hom
bre,¡
de

Ciencia,
de J. Garrido (Buenos Aires, 1969 y París editions du Ce
dre 1970).
401
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JUUO GARRJDO
dos de abstracción, pero estas dos modalidades del conocumento, a
pesar de ser distintas, están en
la práctica muchas veces mezcladas
pues
resultan de la conjunción de los datos obtenidos sobre un cier
to número de hechos que se deben explicar (primer grado de abs
tracci6n) con una teoria matemática que depende del segundo grado
de abstracción. La teoria suministra una forma en
la cual deben alo
jarse los hechos reales; la construcción de esta forma se hace inde
pendientemente
de los

hechos experimentales y por mera deducci6n
racional. Las
formas matemáticas

tienen, cuando están
co.crectame~te
construidas,

una certeza indiscutible, pero con respecto a una reali
dad determinada pueden ser ciertas, falsas o aproximadas según sea
su adecuaci6n con
la realidad que buscan explicar. Es muy frecuente
que determinadas formas matemáticas sean aplicables a realidades
muy distintas
y tienen por esto el gran valor de permitir unificar
formalmente determinados aspectos de diversas realidades, como ocu
rre,-por ejemplo, con las ecuaciones del muvimiento ondulatorio, que
sirven para tratar aspectos diversos de la mecánica, de la acústica, de
la 6ptica
y de la electricidad. Tenemos en las formas de este tipo
un segundo grado de abstracción de un nivel más elevado, pues per
mite llegar. a una unificación
de. diversas

·abstracciones ... Hay que
tener en cuenta, sin embargo, que el hecho de que sean aplicables
ecuaciones análogas a diversos fenómenos, no autoriza a deducir que
sean estos
aspectos diversos

de un fenómeno análogo; la analogía
puede
ser en

sólo un aspecto de fen6menos tan diferentes como las
olas del mar, las ondas electromagnéticas o las vibraciones en un
tubo de órgano que obedecen a ecuaciones análogas, pero son físi
camente muy distintos. Si confeccionamos un catálogo de las formas matemáticas necesa
rias o útiles para interpretar la realidad, nos ·encontramos con que
entre los diferentes elementos de este catálogo se pueden encontrar
relaciones y así surgen nuevas formas matemáticas que constituyen
formas de un nivel más elevado todavía, pues tratan, no de unificar diversos aspectos de primer grado de abstracción con una forma co
mún, sino diversas formas del segundo grado
·de abstracción

en una
doctrina unitaria. Esto ·es lo. que pretende ejecutar la «matemática
moderna» de un modo definitivo llegando a la abstracción de las
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LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
abstracciones y a teoría de las teorías. Esta empresa es no sólo le
gítima, sino
útil y brillante, porque no se debep poner límites
a los desarrollos intelectuales especulativos, pero no debe erigirse en
algo exclusivo y definitivo, sino que es uno de tantos intentos inte
resantes y útiles en determinadas circunstancias. El Bourbakismo (15),
que es así como se denomina esta rama unificadora de las matemá ticas, ha sido innegablemente un éxito desde el punto de vista en el
que
se ha

colocado
y ha sido recibido con júbilo y enhlsiasmo por
la
mayoría de los investigadores matemáticos, siempre en busca de
novedades y ansiosos de encontrar
nuevos campos

en los que des
arrollar sus ansias de investigación especulativa. Pero
lo que es im
portante
hacer resaltar

es que los éxitos del Bourbakismo no repre
sentan de ningún modo una ruptura con las matemáticas tradiciona
les y menos todavía
la negación de éstas. Los especialistas serios están
todos de acuerdo en admitir que las matemáticas constituyen una
ciencia continua que ha evolucionado hada conceptos cada vez más
generales de carácter unificador,
pero cuya diversidad es un hecho
que no se puede
ni se debe negar. Es completamente ilusorio el que
rer deducir de
la matemática moderna argumentos en favor de un
historicismo dialéctico que opone
lo moderno a lo antiguo y en el
que éste
es abolido por aquél por ser necesariamente superior.
El querer dar demasiada importancia a la unidad conceptual tie
ne el inconveniente de contribuir a cortar las relaciones entre las ma
temáticas y la realidad y lanzarse a una especie de nominalismo cuyo
fin puede ser parecido a la degeneración de
la escolástica que acabó
en discusiones y cuestiones estériles alejadas de todo saber positivo.
Es cierto que
estas matemáticas
puramente conceptuales, como ocu
rrió también en las
escuelas escolásticas

aun degenerad.as, pueden
servir para ejecutar una gimnasia intelectual que fortifica el arte
y
la práctica de pensar, pero la cuestión está en saber si esta gimnasia
( 15) «Nicolás Bourbaki o simplemente Bourbaki, es el nombre que ha
adoptado un grupo de matemáticos franceses que trabajan en equipo desde
1930
y han publicado numerosos trabajos y libros con este seudónimo. Su
idea ha sido desde el principio el axiomatizar toda la matemática y con esto
unificar las diversas ramas de las ciencias matemáticas.
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¡uuo GARRIDO
y este fortalecimiento no se pueden hacer también en otros campos
más fructíferos
y esta cuestión nos Ueva al problema pedagógico y
de nuevo a la reforma de la enseñanza.
Finalidades de

la
en-señanza de
las ciencias matemáticas.
Todas las cuestiones
más o

menos complicadas que plantea la
matemática moderna, todas las consideraciones más o menos apasio
nantes que el Bourbakismo plantea, no nos deben hacer perder de
vista que
el problema concreto, el problema más importante, se re
fiere a la enseñanza de las matemáticas a ·los alumnos de las escuelas
y de los institutos, pues es el que interesa a los alumnos y a sus pa·
dres,

a los educadores,
y hasta a los moralistas y políticos, pues las
reformas educativas que llevan una buena dosis de «matemática
mo
derna>> se imponen ahora en la mayoría de los países con carácter
obligatorio y muchas veces con métodos dictatoriales a los que es
difícil oponerse.
Pero ¿qué nos proponemos en la enseñanza de las matemáticas?
Dejando de lado aquella ínfima proporción de estudiantes que
se preparan para ser profesionales de las ciencias matemáticas,
la
gran mayoría de los que aprenden matemáticas en los diversos niveles
de la enseñanza, buscan tres finalidades distintas :
informarse sobre los· conocimientos matemáticos de la humani
dad, lo que es una finalidad cultural.
formarse y ejercitarse en ciertas actividades mentales de racioci
nio, de

deducción
y de abstracción, lo que es una finalidad educativa)
prepararse en el manejo de un cierto número de inst_rumentos
aplicables a sus futuras actividades profesionales, o sea, una finali
dad

práctica.
Veamos rápidamente cada una de estas tres finalidades en las
dos perspectivas, la tradicional y 'la «moderna».
En lo referente a la información rultural es evidente que ~erá
tanto más completa y profunda cuanto mayor sea el número de ca
pítulos y puntos de vista matemáticos que se examinen. Un estudian
te será matemáticamente culto si conoce el análisis matemático,
la
404
Fundaci\363n Speiro

LAS MATEMATICAS Y LA REAUDAD
geometría proyectiva, la mecánica racional, la topología, etc., etc.;
a esta larga lista no deberían faltar tampoco los capítulos más mo
dernos, la teoría de conjuntos,
la lógica matemática, etc. y ... los
intentos bourbakistas para unificar las diversas ramas, pero estos in tentos que
tanta importancia tienen en la matemática moderna re
sultan más

interesantes, más útiles
y más fructíferos si se estudian
después de conocer las diversas ramas que se quieren unificar, pues
no se apreciará el mérito de los unificadores más que cuando se sepa
qué es lo que se quiere unificar. En un panorama tan ampliO de las
ciencias matemáticas es normal que la elección de las materias más
interesantes
se haga en función de criterios deducidos de las dos otras
finalidades de la enseñanza, ya que desde
el punto de vista mera
mente
cutura1, ~das tienen

interés.
Si se trata de formar el juicio
y ··ejercitar determinadas cualidades
intelectuales por medio de una· gimnasia matemática, no parece nada
evidente que esta gimnasia sea más fructífera con las ideas generales
de la teoría de los conjuntos que con la
_geometría de

Euclides, pon
gamos por ejemplo, la gimnasia mental, el desarrollo de las cualida
des deductivas
y racionales ; la precisión de las formulaciones pueden
ejercerse en muy diversas cuestiones matemáticas, cada una de ellas
tiene sus características propias que enriquecen al
al~o, pero

las
nociones demasiado generales, al estar desconectadas con la realidad,
mutilan en

cierto modo la inteligencia que acaba por actuar en cir
cuito cerrado
y aminoran las cualidades de discernimiento, que se
desarrollan por
la comparación entre nuestras elucubraciones o de
ducciones y
la verdad objetiva exterior a nosotros y señalada por
el maestro (16).
Si de lo que se trata es de enseñar el manejo de un instrumento
para la vida ordinaria o para las actividades profesionales, la prima-
(16) Los que sostienen el mantenimiento de los métodos tradicionales
tienen sus campeones ilustres, dos premios Nobel de Física: Alfred Kastler
y Louis Neel han denunciado públicamente los peligros de la reforma y han advertido sobre esto discretamente al presidente de la República. En una
sesión solemne· de la Academia de Ciencias de París el día 13 de
diciembre
pasado,

su presidente saliente Georges Chaudron, condenó claramente la
reforma (G. BONNOT,
L'Express del 31 enero-6 de febrero de 1972).
40~
Fundaci\363n Speiro

¡uuo GARRJDO
cía de la «matemática moderna» es. todavía menos defendible, puesto
que sus síntesis generales,
sus· conceptos
abstractos
y sus deducciones
no se aplican normalmente en las actividades corrientes de la vida
cotidiana, ni en los oficios manuales, ni en
la . arquitectura, ni en la
quimica, ni en la fisica. Encuentran sdlamente alguna utilidad prác
tica en la construcción de ordenadores
y en la confección de los pro
gramas correspondientes. Claro es que muchas cuestiones son sus
ceptibles de ser enunciadas con términos de la lógica matemática,
pero en la mayoría de los casos esta utilización de una terminología
complicada no pasa de
ser· el
enuhciado de banalidades
en un
len
guaje esotérico y pedante (17).
Otra de las caraterísticas de la nueva pedagogía matemática es
su horror a la memoria y el desarrollo-de la idea de que son los alum
nos mismos los que descubren Ia'S verdades y que no deben recibirlas
de sus profesores por vía de autoridad. A este respecto es
in~eresan·
te citar un texto muy significativo publicado y comentado por Gre
net (18) y que reproduce un documento distribuido en una reunión
de profesores de matemáticas de
la segunda enseñanza francesa;
dice así:
«Ya se
terminó para el

alumno el aprender la regla
que aplicará
u;ntamente para

resolver un
p,-oblema que no

se plantea nunca en
la vida ordinaria. ¡uanito
y Marcos a partir de una situación familiar
( 17) Las nuevas matemáticas no son piácticam.ente de ninguna utilidad.
Pueo.en representar

para los científicos un instrumento de investigación abs
tracta. No sirven para nada, ni para
un ingeniero

encargado de edificar una
presa, un puente o una fábrica. Pero se
enseñan desde

ahora en
la escuela
primaría,

es · decir, que se forma con ellas a nifios que
ignoran el
sistema
métrico
y no saben sumar. ¿Por qué? Para que los padres formados en
otras disciplinas, no puedan ya dirigir su trabajo
y que el corte entre las
generaciones se haga más completo, dando la convicción a los chiquillos que
saben más que sus padres. El plan está muy bien combinado
y es extraor·
dinario

que los _ padres víctimas no tengan conciencia de él
(Bulletin de
París
(20, avenue F. D. Roosevelt, París VIII. número de 4 de diciembre
de 1970).
(18) Bulletin du Cercle Thomiste Saint Nicolás de Caen, núm.
'.52
(1970) pág. 36.
406
Fundaci\363n Speiro

LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
para ellos que el profesor les ayuda a descubrir de acuerdo con toda.r
las combinaciones posibles de elementos, clasifican sus descubrimien tos, los estructuran,
_y aprenden a transcribirlos por medio de un
signo
y a expresarlos por medio de un lenguaje. Delante de una
nueva situación, no tendrán la tentación de emplear recetas que ig
noran, Su-único recurso será -emplear su inteligencia: descubrirán1 in
ventarán, crearán.
Mañana, fuanito y Marcos cuando 1ean hombres, no se conten
tarán con
afirmaciones autoritarias, querrán explicarlas personcdmen
te; ya no obedecerán tranquilamente, sino que ·se esforzarán en com
prender el sentido de lo
que se

les pide, harán algo o se abstendrán,
no
a causa

de
que esté permitido o prohibido, .rino de acuerdo con
la
signififacÍón que darán a

sus actos,
rehusarán la «receta>> moral
y serán responsables de su conducta; desecharán la aplicaci6n de la
letra
para decidirse
segun
él espíritu, en lugar de

dejarse
llevar por
modas y por conformismoJ y 1er eulavos de la ley; serán libres.»
He aquí muy claramente expresado y puesto muy bien en evi
dencia el transfondo de esta reforma pedagógica, el desarrollo de
un idealismo ingenuo, casi
infantil, que

pretende demostrar la inuti
lidad de todas las enseñanzas
y todos los métodos empleados hasta
ahora. Cree que todos los alumnos podrán por arte y por gracia de
la reforma replantear y resolver por ellos mismos las cuestiones que
tanto han costado resolver a generaciones de sabios matemáticos. Se
pretende que todos los alumnos sean nuevos Pascales o superpascales,
pues si este redescubrió las proposiciones fundamentales de Euclides,
los alumnos «modernos» deberán descubrir: la geometría,
la arit
mética, el álgebra
y, ¿por qué no?, la teoría de los conjuntos. Pero
como seguramente no todos llegarán a descubrir todo, la mayoría
quedará en los balbuceos de los primeros capítulos, puesto que, como
las ciencias matemáticas son deductivas y los capítulos posteriores re
quieren el conocimiento de los primeros, no podrán nunca avanzar
en las deducciones, pues para ello necesitarán guardar en la memo
ria lo
ya deducido en los primeros capítulos, lo que está en contra
del amemorismo que es uno de los postulados de 1a reforma.
J ean Oudin que comenta agudamente esta tendencia tan origi-
407
Fundaci\363n Speiro

JULIO GARRIDO
nal (19) dice: «Así ocurre que las matemáticas modernas van a ac
tualizar, en

fin, la mitologla nietzcheana del superhombre
que seduce
ahora a tantos clérigos- exal-tados. Los nuevos Supermanes podrán, sin
memoria, sin tener en cuenta lo que han encontrado los hombres que
les precedieron, llegar por inducción a ser omniscientes. Y cuando
sean

mayores, podrán, recurriendo a una deducción siempre infalible,
dominar toda la realidad
y todas las experencias, crear una moral y
una
ley.
>>Esto, termina J. Oudin, es lo que alguien prometía a nuestros
primeros padres ERITIS SICUT DII (20).»
Absolutismo e historicismo.
Es un defecto característico de muchos hombres de ciencia dar
una importancia excesiva al campo de estudios que cultivan; algunos
de ellos llegan a asignar un carácter absoluto a
un aspecto de la rea
lidad sometiendo todas las características
exist.entes a

su
limitado,,,pun
to

de vista. El hecho es que
la realidad es muy rica en diversidades
(19) J. ÜUDIN, Les mathématiques modernes et leur enseig"nement (ré
flexions
d'un ingénieur).
La Pen.rée catholique, núm. 133, pág. 70 (1971).
( 20) El estado de espíritu subyacente a · la reforma puede resumirse en
un esquema temible por su simplicidad:
a) el dominio experimental es la única fuente del saber.
b) el dominio de la experiencia se reduce a lo medible.
e) lo medible es sólo objeto de conocimiento en la medida en que puede
ser objeto de una axiomatización formal y se refiere por esto a una mate
mática cottada de su referencia a
lo concreto.
d) esta matemática es por naturaleza hipotético-deductiva.
Esta es, en definitiva la empresa del progresismo dentifista de última hora.
Se relaciona extraordinariamente con la ambición de Monod que proclama
el conocimiento objetivo (científico) como única fuente de la verdad autén
tica y rechaza al dominio de la fábula animista, el conocimiento de leyes in
manentes, religiosas o naturales que se imponen al hombre. Esta verdad
auténtica es también hipotética, dice Monod, pero es un postulado· consubs
tancial con la ciencia
(J. Mon9d, El azar y la necesidad, pág. 191 y 33).
Citado por O. de Blignieres. Les mathématiques modernes au service de la
subversión?, l'Ordre fr-anrais, núm. 156, diciembre 1971.
408
Fundaci\363n Speiro

LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
y matices y tiene muy distintos aspectos y el error de perspectiva y
la visión parcial del especialista pueden llevar a conclusiones muy
discutibles
y hasta a groseras equivocaciones que se quieren imponer
basándose en

la categoría intelectnal del que las enuncia; a pesar de
que su competencia no rebasa, las
más de las veces, el estrecho cam
po de su
especiaHdad (21).
Ni

el «pan-fisicismo», ni el «pan-economisnio», ni el «pari-psi
cologismo»,
ni él «pan-biologismo»,

tienen sentido, por muy impor
tantes y respetables que sean la física, la economía, la psicología o
la
biollogía. El exclusivismo absolutista de los especialistas puede
llegar
.ª extremos risibles como el de aquel cirujano que negaba la
existencia del alma porque no la
· había
encóntrado nunca con su bis
turí. No es tampoco sensato el admitir que uno de los aspectos deba
poseer una primacía sobre los demás
y menos regir las explicaciones
en campos diversos. Existen en la
rea'lidad varias
categorías de leyes :
físicas, químicas, biológicas, jurídicas, estéticas o morales
y cada una
de ellas tiene su dominio propio, su actitud mental característica, sus
métodos
y sus conclusiones ; todas ellas son válidas e importantes
cuando no
pretenden el
exclusivismo. Este no quiere decir que no
existan puentes, relaciones
y analogías entre las diferentes· esferas del
saber, pero estas analogías
y relaciones sólo se pueden establecer si
se han determinado de un modo bien definido los diferentes domi
nios que se han de relacionar.
Las matemáticas tienen una situación muy particular
. en

el campo
del
saber humano,

situación que
lés confiere
su naturaleza de
·segun
do

grado de abstracción del que hablábamos más arriba. Son aplica
bles a diversos
aspectos de la

realidad
y no es de extrañar que 1esde
Platón y especialmente desde Descartes y Leibniz sé haya desarro
llado la idea de un < mathesis universa/is
(21) Una demostración reciente de-este hecho es el libro «Azar y Ne
cesidad» del premio Nobel
Ja.cques Monod, que trata

de interpretar todo el
conocimiento científico a partir de sus estudios de biología molecular. Des
de el punto de vista
filosófico es

sólo la expresión más o menos feliz de
un conjunto de prejuicios ,materialistas, evolucionistas y ateos que descubren
como «última novedad» los enunciados de Demócrito. No merece este libro
la propaganda
y la importancia que se le ha dado.
409
Fundaci\363n Speiro

¡uuo GARRIDO
que regentaría todo el conjunto del saber humano y daría la clave del
conocimierito del mundo en que vivimos.
«Dios hizo al mundo según orden, número y medida» nos dicen
las Escrihlras, y esto hace que el pan-matematismo pueda tener, en
cierto modo, un carácter teológico, pues la contemplación del mun
do a través de las matemáticas puede revelarnos, más que otras ac
titudes, el orden y las regularidades de la creación; pero de todos mo
dos se trata también de un aspecto parcial de
la realidad, cuando no
únicamente de un método preciso para enunciar ciertas leyes referen
tes a diversas esferas del saber. No es posible absolutizar una visión
matemática del mundo que nos exprese los aspectos numéricos, cuan
titativos y estructurales de la realidad y convertir a las matemáticas
en la reina de las ciencias supeditando los otros aspectos cualitativos
y matizados a las frías y estrictas formulaciones de la «mathesis uni
versalis», que sólo constituye un instrumento, en muchos casos insus
tituible, para analizar ciertos aspectos parciales de determinadas es
pecialidades.
La existencia de diversos aspectos de 1a realidad que constituyen
cada uno de ellos un campo de estudio para determinados especia
listas, no debe llevarnos a admitir que todo conocimiento es relativo
y depende del punto de vista del que lo obtiene y enuncia; esto sería
caer en el relativismo. Es evidente que personalmente cada uno de
nosotros tenemos un conocimiento relativo
y subjetivo, pero si que
remos progresar en nuestros conocimientos, la prudencia nos obliga
a desligarnos cada vez más de todo relativismo y de todo subjetivis
mo y el conocimiento verdaderamente científico empieza cuando re
basamos la etapa del subjetivismo y del relativismo y encontramos
leyes y regularidades independientes de nuestras opiniones personales.
Una forma de subjetivismo más sutil
y más grave es la que se
basa en el intersubjetivismo, o sea, en el subjetivismo común a un
grupo numeroso de individuos que forman una unidad cutural en
el espacio y en el tiempo. En base alJ estudio de los diferentes inter
subjetivismos a lo largo de la historia de la humanidad, se ha des
arrollado el histo.ricismo que es una tendencia a dar una importancia
fundamental, cuando no exclusivo, a las variaciones de las opiniones
y actitudes de los diferentes grupos humanos a lo largo del tiempo.
410
Fundaci\363n Speiro

LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
Pero el historicismo, muy en boga en los últimos tiempos, es
también
nna visión parcial, el estudio de un solo aspecto: el estudio
del desarrollo del conocimiento; pues da igual o más importancia
a lo accesorio, episódico y caduco de la ciencia de determinadas épo
cas, que a lo que constituye verdaderas y estables adquisiciones de
la ciencia.
En las ciencias de la naturaleza se puede difícilmente adoptar una
actitud estrictamente historicista, pues si progresan es merced a una
labor de construcción de nuevas aportaciones basadas en conocimien
tos anteriores seguros. En cambio, en las ciencias puramente con
ceptuales existen realmente a
lo largo de. la historia. variaciones
importantes que no se pueden desdeñar. Pero cuando las ciencias
conceptuales no se
limitan a construir edificios y razonamientos abs
tractos sino que tratan de adecuarse a la realidad, entonces el histo
ricismo queda relegado a
lo accesorio y anecdótico y no puede de
ningún modo adoptar el carácter absoluto que algunos le asignan. Las
mat~máticas ocupan

también con respecto
al historicismo un
lugar especial; por tratarse de ciencias conceptuales, el estudio de su
evolución histórica presenta gran interés, pero cuando se considera
esta evolución y se dejan a un lado los llamados «estilos matemáti
cos» característicos de las diferentes culturas (22), se observa que
existe una adquisición gradual de verdades que constituyen un edi
ficio sólido, susceptible, es verdad, de mejoras, de
~álisis diversos,
de

unificaciones
y de- generalizaciones, pero en el que cada uno de
sus elementos constitutivos son válidos, pues nos sirven
para explicar
y describir la realidad.
En su
afán de relativizar todo cónocimiento llegan abora algunos
a un verdadero «absolutismo historicista» que tiene como
instrumen
to dialéctico la contradicción y como único principio de organización
el postulado «indiscutible» del progreso evolutivo que admite que
todo lo moderno es superior a lo antiguo
y que aquél suprime ne
cesariamente a éste, siendo su lema:
Postet'ior ergo melior. Pero esto
(22) En un reciente libro de Javier de Lorenzo estudia las variaciones
del
«estilo matemático» en las diferentes culturas y los relaciona con la
ciencia del
lenguaje (lntr-od11cción al e.stila-·matemático, Edítorial Tecnos,
Madrid,
1971).
411
Fundaci\363n Speiro

JULIO GARRJDO
es sólo cierto cu.ando lo moderno asume y utiliza los resultados ante
riores y no cuando los destruye. En las matemáticas, como en cualquier otra actividad intelectual,
no se puedC hablar de progreso si se prescinde o se suprimen los
conocimientos anteriores válidos. Los estilos o las variaciones meto
dológicas afectan sólo a la superficie, no -deben repercutir sobre la
sU.stancia, -como pretenden algunos apasionados de la revolución de
la matemática moderna.
La ruptura con el pasado y el divorcio de las generaciones.
La «matemática moderna>> tal como la presentan muchos peda
gogos progresistas,
tal como aparece en muchas reformas de la ense
ñanzii, quiere

constituir una
ruptura, un
cambio absoluto
y definitivo
en ,el sistema de enseñanza. Se trata sobre todo de oponer «las fasti
diosas e inútiles matemáticas de papá «á la luminosidad y fecundidad
de una ciencia
que desde su nacimiento habría sido adornada con
tocias las

cualidades por el arte de poderosísimas
. hadas
madrinas, co
mo dice Olivier de
lllignieres en

un documentado artículo (23) en
el que hace notar que segun sus panegiristas las nuevas matemáticas
n~ sólo
están
al alcance de todas las inteligencias, sino que son capa
ces de fórmar un nuevo tipo de inteligencia notablemente adaptado
a las exigencias de nuestro tiempo. Y no están muy descaminados
estos panegiristas, pues a la primacía de la calidad, de
la exactitud
y de !a j erarquia que caracterizan a la enseñanza clásica, oponen un
nuevo tipo de razonamiento del que están ausentes todos los mati
ces y acaban por equiparar la inteligencia del alumno a la de una
computadora que razona por simples planteamientos dicotómicos en
los que siempre está ausente
la idea de calidad y la noción de je
rarquía se equipara a
la subordinación de conjuntos, acerca 1á. irite
ligencia

de los alumnos a la de un robot capaz sólo de razonar por
dilemas más o menos complicados, pero impuestos a priori ...
y aún
tend;án otra desventaja frente a las computadoras,
y es que éstas ~ie-
(23) Loe. cit.
412
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LAS MATEMATICAS Y LA REALIDAD
nen memoria, cualidad despreciada olímpicamente por la nueva pe
dagogía.
Es fácil prever que si se llega a realizar el proyecto de forma
ción intelectual basada en
la nueva matemática, el esfuerzo que ten
drán que hacer los futuros técnicos, los futuros científicós
y, en ge
neral, los futuros ciudadanos para enfocar fa realidad con este ex
traño bagaje intelectual, será mucho mayor que el que tienen que
hacer actualmente. Lo que habrán estudiado no serán medios auxi
liares para interpretar y conocer la realidad, sino edificios lógicos,
rígidos y fríos, construidos con nociones ideales sólo aplicables a
circunstancias especiales, pero que
nadá. jristifica su

pretensión de
ser prioritarias y menos exclusivas (24).
Las nuevas matemátiCas minimizan Y hasta evacuan la realidad
objetiva y llevan a afirmar, como dice uno de sus seguidores (25),
que: «La experiencia científica es solamente la puesta en marcha
sistemática
y afinada de la búsqueda de los grupos para encontrar
más
aUá de

los
obietos concretos,
o sea, sospechoso.r
(sic) 101 entes
abstractos
y, por comiguiente rea/e, (sic).»
Estamos en pleno idealismo.
Si se deja de lado la realidad como norma y algo exterior a nos
otros como pauta obligada a la que hay someterse, se abre la puerta a lo que M. L. Guérard des Lauriers califica
de productivismo men
tal (26): toda elucubración, todo edificio intelectual, con tal de que
en su construcción se respeten determinadas reglas de juego dadas
por su mismo autor, es _válido y debe ser admitido como «científico>>,
crecerán exponencialmente las publicaciones científicas y prolifera-
(24) Nuestro llorado maestro don Julio, PALACIOS se lamentaba de que
tan en baja está la matemática clásica qúe ahora es difícil encontrar en los
últimos años de la licenciahlra, alumnos que sepan la ecuación de la hipér
bola equilátera ( citado por· don Joaquín García
kua, Sobre el deiarrollo his
tórico de la Matemática y su dialéctica. Publicaciones del Instituto Jorge
Juan_del C.

S, l. C.
Madrid, 1971).
(25) P. CAHUZAC, Economie et mathématiques. Introduction méthodo
logique T._ I., Presses Universitaires de France, París, 1967.
·, · .(26) Itinéraires, loe. cit. págs. 227 y sigs .
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JULIO GARRIDO
rán los «sabios» (27). Se vive asi, dice Marce! Clément (28), no
en Jo real, sino en lo
posible, en

lo evolutivo
y el hombre se imagina
ser el autocreador del uniVerso. Se vive cada vez más de imágenes
y cada vez menoJ de realidades ... nos acercamos a una civilizaci6n en
la
que ta abstracción de segundo grado, la de las matemáticas, .re sus
tituye
a la
verdadera ciencia y tendremos hombres que estarán por
un lado llenos

de imágenes puramente externas
y sensibles, y por
otro
lado, con la

mente repleta de abstracciones sin contacto con la
realidad. V

amos a
ver desárrollarse un tipo

de hombre -existe
ya
que será ·at mfrmo tiempo materialista- a fuerza de abusar de lo un~
sible, :d-e-lo sensoria/, y de lo sensu.a/1 e idealista-porque sólo es ma
temático. Pero lo que ocu"e es que lo real no ha sido. nunca un pa
ralelismo
entre fa mate,mática y · la rensaciórr, lo real reposa sobre
una 1ntuición profunda, la unión intima1. amorosa, de LO -QUE :ES
con

la. inteligencia
que se enamora y .lo 'abraza, de ningún modo .con
los
títeres que

nutren los ojos
y los oídos con ritmos e imágenes de
cantos
y bailes de la· más baja estofa y, por otro lado, con la pureza
engañosa

de
un cálculo

matemático aparentemente riguroso
1 pero que
es

destructor
en el

fondo
si se

le quiere
aplicar a

la contingencia de
las cosas.»
_ A_lgunos pueden encontrar demasiado pesimistas las considera
ciones: de

.esté conocido crítico
francés; no
en
tpdas partes
ha alcan
zado
.el innovacionismo a tener. conseq¡encias tan graves. El buen
sentido y la independencia de espíritu pueden reducir los daños y
poner límites a los destrozos producidos por reformas precipitadas
o i.t:r_aciónales, y. 1levar las n,ovedades pedagógicas a sus cauces nor
males,
pues

nadie niega que los programas de determinadas materias
deban actualizarse de acuerdo con los progresos de
la ciencia.
Queda, sin embargo, el hecho importante que hemos querido
señ~ar aquí y es qlle la llamada «riueva matemática» puede ser un
(27) ]'ai toujours souten1:1, que tripoter sur des équations générales est
a la portée d'un grand nombre, que traiter a_· fond les cas partio.ili_er_s n' est
réservé
qu'.i quelques-uns.

H.
BouASSE Introduction au phénomenes liés -,r la
symétrie. París, ·1931.
(28)

Marcel
CLEMEÑT, L'avenir cie l'ió.te"lligence. Una Voce4 Mai-Aout ,/ 1971, núms. 38-39, pág. 10.
414
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LAS MATEMATICAS Y LA REAUDAD
arma terrible en manos de la subversión y de la ideología revolucio
naria
y como propagadora de determinados prejuicios o escuelas filo
sóficas que no tienen nada que ver con
la ciencia ni con el verdadero
progreso de la humanidad.
La «matemática moderna»,
~ teoría de los conjuntos, la lógica
matemática,
y el Bourbakismo, pueden ser armas terribles, pero como
todas las armas, pueden ser utilizadas con fines muy diverSOs; pues
una daga por puntiaguda que sea puede también
servir , para cOrtar
sucolentos filetes al final de una amistosa partida de caza.
La lógica matemática, que es uno de los amores más arraigádos
en

el corazón de los matemátiCos modernistas, puede perfectamente
servir para demostrar la inconsiStencia de muchas de sus propias
reacciones pasionales, una de las cuales ·es frecuentementé su fobia
hacia el aristotelismo y el tomismo.
El excelente especialista
J. M. Bochenski, profesor de Friburgo y
que pertenece a la Orden de Santo
"Domingo, se ha dedicadó a ana
lizar el valor de varias obras de Santo Tomás desde el
punto de

la
lógica matemática
y ha podido demostrar con -todo el rigor que em
plean los especialistas, que los
razonaníieotos y· las deducciones des
arrolladas por el Santo son difícilmente superables en precisión ló
gica. La obra del P. Bochensky sobre la lógica de la religión (29)
es una demostración
de que 1a nueva matemática puede poner.Se a1
servicio de principios filosóficos muy distintos de los relativistas y
subjetivistas. A las generaciones futuras corresponde
el llenar el «Pen
sa.mento sin contenido»,
e1 «Edificio vacío» de 1a matemática que
quiere
irrumpir en la filosofía
y en la vida ordinaria, con ideas fe
cundas, objetivamente verdaderas como exp!esión de la Suprema
Realidad.
(29) J. M. BOCHENSKI, La lógica de la religión. Editorial Paidós. Bue
nos Aires,
19.67.
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JUUO GARRIDO
APENDICE
Terminado este estudio hemos recibido un informe de la Aca
demia de Ciencias de París que
se refiere al tema de que nos hemos
ocupado; este informe ha sido publicado en los
«Comptes Rendus
Hebddmadairl!s des Scéances ·de l' Academie des Sciences, Tome 274,
núm. 11 (13 de marzo de 1972), págs. 96-100».
El
informe que ha sido preparado por el académico Prof. Jean Le
ray y ha sido aprobado oficialmente por esta docta Institución, analiza
y critica las características de la reforma de la enseñanza secundaria
de las matemáticas. No podemos publicarlo aquí completo dada su
extensión y su carácter técnico; ·sin embargo, indicaremos algunos pá
rrafos característicos que permitirán apreciar la idea fundamental que
lo anima qÚe no es nada favorable a la reforma en curso.
En la introducción al informe indica que el verdadero carácter
de la reforma viene expresado en el
«Bulletin Officiel de l'Educa
tion National-e» y sobre todo en los programas y en su comentario
(2 de diciembre de 1971, págs. 2867-2917) y «el espíritu de este
comentario explica las aberraciones de los libros de texto que pro
vocan los desvaríos de los alumnos y de los profesores ; a los-c:uliles
ninguna

reeducación (récyclage) puede aportar remedio».
Pasa luego a analizar las diferentes opciones posibles en la en
señanza de las matemáticas y dice que la· enseñanza secundaria debe.
ría

simplificar
la enseñanza de la geometría, sin minimizar su ·papel,
y extender y diversificar la enseñanza de las matemáticas. Todos los
Países lo saben, dice, y los Países no centralizados ensayan simul.
táneamente

varias
opciones. Estas,
según el informe, se pueden
es.
quematizar

en tres tendencias: opción pragmática, opción algébrica ______ _
y opción conjuntista.
Con respecto a esta última, que es la preconizada por la reforma,
dice: «La opción conjuntista en
la enseñanza secundaria,,, Consiste en
definir di espacio euclfdeo por la teoría de los conjuntos: se Háma
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LAS MATBMATICAS Y LA REALIDAD
recta a todo conjµ.nto que tiene una estructura definida por una fa
milia de biyecciones convencionalmente escogidas. Pero esta defini
ción conjuntista no tiene sentido para el adolescente, porque supone
adquirida la noción de conjunto (numerable o no) y un adolescente
adquiere esta noción empíricamente a
lo largo de sus estudios ma
temáticos y no instantáneamente al principio ...
«Finalmente resulta que se carga la memoria del a1umno con. un
peso más, las nociones introducidas resultan suspendidas
en. un
do
minio metafísico
y es imposible para el alumno aprehenderlas y hacer
uso de ellas ... Los alumnos imprudentemente iniciados al tan difícil
manejo
del infinito, .. estarán muy mal preparados para evitar las ab
surdidades que
el lenguaje conjuntista permite enunciar tan fácil
mente

(tal como el conjunto de todos los conjuntos); se comienza
por violar.
la regla según la cual la enseñanza secundaria debe apar
rarse de toda contradicción ... En lugar de plantear un problema (
el
de definir una recta a partir de un ruerpo RJ y, si es posible ana
lizarlo y resoverlo, se ha enunciado un discurso de una generalidad
utópica.
En resumen, el error científico que se ha señalado sobre la de
finición conjuntista de
Wl espacio, tiene como consecuencia muy
graves errores pedagógicos. El adolescente está estupefacto ante los
desarrollos de
Wl pensamiento que se siente incapaz de imaginar; le
producen la convicción humillante
y falsa de que para dominar las ma
temáticas

hace falta estar iluminado por la chispa del genio que a
él le falta ... maneja el adolescente
un lenguaje esotérico en desacuer
do con las otras disciplinas cintíficas
y técnicas y con el lenguaje
común».
El informe que aqui reseñamos termina con la CONCLUSION
siguiente que copiamos íntegramente:
El peligro de la reforma en curso.-En la enseñanza secundaria
la opción con juntista de la definición de la geometría es, por lo
tanto, una
utopfa peligrosa. Los

programas promulgados actualmente
no la imponen, pero
el comentario oficial de los programas de las
clases
4.ª y 3.ª los

han recomendado (en términos científicamente
erróneos). La reforma se desarrolla orientándose hacia esta opción.
Los términos científicos que hemos tenido que emplear para anali-
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JULIO GARRJDO
zarla muestran hasta qué punto esta reforma desconoce las aptitudes
y fas necesidades intelectuaes de los adolescentes que son alumnos
de los C. E. G. ( ciclos de estudios generales), de los C. E. S. ( ciclos
de estudios secundarios)
y de los liceos. La reforma en curso pone
gravemente en peligro el porvenir económico} científico y técnico
del País.
Con esta frase lapidaria convenientemente subrayada termina e'l
informe de la Academia, informe que fue cursado acompañado de
un ruego sobre la renovación y la coordinación de las enseñanzas
científicas secundarias en el que dice que «se Observa que en ciertas
clases la modernización en curso de la enseñanza de las matemáticas
lleva con demasiada frecuencia a presentar libros de texto o decep
cionantes o aberrantes y a enseñanzas defectuosas».
La Academia envió el RUEGO y el INFORME al Señor Minis
tro de la Educación Nacional de Francia el 6 de marzo de 1972.
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